重积分

汝所为人，故行其事；汝所行事，终成汝身。

——西昂如是说

引言

通过概括总结重积分的概念以及奇技淫巧，来更加有效的会学、会用重积分。

概念

咳咳，同学们，现在开始上课，请把书翻到135面，今天我们开始讲新的一章：重积分，我们先假设有一个立方体，它的底是$xOy$平面上的闭区域$D$，高为h，那么它的体积就是… 😪💤💤💤💤

欸！欸！欸！怎么都睡了，好好好，现在我换一个方法讲

我们可以这样快速理解二重积分：（零重积分）求和=距离，（一重）定积分=面积，二重积分=体积，三重积分=超体积^[1]，四重积分=超超体积，…，n重积分=宇宙无敌超超超超…超体积

说白了还是微分的思想，是把一个大的不能直接求出来的东西分解成若干个（大多数时候是无限）小的可求的东西，然后再加起来，求和。这种思想看起来很笨朴素，但数学家们却偏偏从这里面推导了许多运算规律，结果就直接影响人类几个世纪。

不行，这样写，根本就是浪费时间啊。还是取其精华，弃其糟粕吧。

二重积分定义式：

$$\iint_{D}f(x,y)dσ=\lim_{λ\to0}\sum_{i=1} ^{n} f(\xi_i,\eta_i)\Delta σ_i=\iint_{D}f(x,y)dxdy$$

其中D为积分区域，$f(x,y)$为被积表达式，$dσ$为面积元素，$x,y$为积分变量。

三重积分定义式：

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d v=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta v_{i}$$

其中$dv$为体积元素。

二重积分性质

函数可加性

能拆则拆， 跟定积分一样，加和可以拆分开。

$$\iint_{D}[a f(x, y)+b g(x, y)] d \sigma = a \iint_{D} f(x, y) d \sigma+b \iint_{D} g(x, y) d \sigma$$

区域可加性

设积分区域D 可以划分为$D_1$和$D_2$，则有:

$$\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\iint_{D_{1}} f(x, y) d \sigma+\iint_{D_{2}} f(x, y) d \sigma$$

几何意义

高为一时（$f(x,y)≡1$），则二重积分代表的体积（V）与面积（A）在数值上相等

$$\iint_D 1 d \sigma=A$$

有界性

设在D 上$m\leqslant f(x,y) \leqslant M$，D 的面积为A，则有

$$m A \leqslant \iint_{D} f(x, y) d \sigma \leqslant M A$$

中值定理

如果ƒ (x, y) 在闭区域D 上连续，D 的面积为A，则在D 中至少存在一点(ξ, η)，使得

$$\iint_{D} f(x, y) d \sigma=f(\xi, \eta) A$$

奇偶对称性

积分区域D关于x轴对称时，若关于y是奇函数，则值为零，偶函数则倍之。

积分区域D关于y轴对称时，若关于x是奇函数，则值为零，偶函数则倍之。

轮换对称性

若把 $x$ 与 $y$ 对调后, 区域 $D$ 不变 (或区域 $D$ 关于 $y=x$ 对称), 则

$$\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D} f(y, x) \mathrm{d} \sigma,$$

往往是把对称的两者相加来简化计算

二重积分计算法

重头戏来了,在考研数二数三中这道题14分，占比10%。

直角坐标法

当两侧边界为垂直于坐标轴的直线时，可以使用此法。

• x型区域
• y型区域
• 矩形区域

两侧边界垂直于y轴，积分区域如下：

$$D=\left\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, \phi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \phi_{2}(x)\right\}$$

那么，就可以用下面公式进行计算：

$$\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\int_{a}^{b}{\color{blue} A(x)} d x=\int_{a}^{b}\left[{\color{blue}\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)} f(x, y) d y}\right] d x$$

两侧边界垂直于x轴，积分区域如下：

$$D=\left\{(x, y) \mid a \leqslant y \leqslant b, \phi_{1}(y) \leqslant x \leqslant \phi_{2}(y)\right\}$$

此处脑补：y型.jpg

那么，就可以用下面公式进行计算：

$$\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\int_{c}^{d}{\color{blue} B(y)} d y=\int_{c}^{d}\left[{\color{blue}\int_{\phi_{1}(y)}^{\phi_{2}(y)} f(x, y) d x}\right] d y$$

当东西南北都为两对垂直于坐标轴的直线时，积分区域可以表示为

$$D=\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d\}$$

当被积函数为常数k时，直接$k(b-a)(d-c)$就行了，

当被积函数可分离变量时，即$f(x,y)=g(x)h(y)$，则可以：

$$\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\left(\int_{a}^{b} g(x) d x\right)\left(\int_{c}^{d} h(y) d y\right)$$

极坐标法

熟练掌握极坐标，拉开差距。

回顾

1. 直角坐标与极坐标的关系

$(\rho,\theta)\to (x,y)$	$(x,y)\to(\rho,\theta)$
$x=\rho \cos \theta$	$\rho^2=x^2+y^2$
$y=\rho \sin \theta$	$\theta =\arctan(\frac{y}{x})$

2. 常见极坐标方程

• 圆：

  (1)圆心在极点, 半径为 $r$ 的圆: $\rho=r$
  (2) 圆心为 $M(a, 0)$, 半径为 $a$ 的圆: $\rho=2 a \cos \theta$
  (3) 圆心为 $M\left(a, \frac{\pi}{2}\right)$, 半径为 $a$ 的圆: $\rho=2 a \sin \theta$

• 直线

  (1)直线过极点, 直线的倾斜角为 $\alpha: \theta=\alpha(\rho \in \mathbf{R})$
  (2)直线过点 $M(a, 0)$, 且垂直于极轴: $\rho \cos \theta=a$
  (3)直线过点 $M\left(a, \frac{\pi}{2}\right)$, 且平行于极轴: $\rho \sin \theta=a$

• 圆锥曲线

  (1)椭圆：$\frac{1}{\rho^{2}}=\frac{\cos ^{2} \theta}{a^{2}} + \frac{\sin ^{2} \theta}{b^{2}}$

  (2)双曲线：$\frac{1}{\rho^{2}}=\frac{\cos ^{2} \theta}{a^{2}} - \frac{\sin ^{2} \theta}{b^{2}}$

  (3)统一形式：$\rho=\frac{e p}{1-e \cos \theta}$

应用

值得注意的是，当积分区域为圆盘或圆盘一部分时，即$\color{purple}D=\left\{(\rho, \theta) \mid \alpha \leq \theta \leq \beta, \phi_{1}(\theta) \leq \rho \leq \phi_{2}(\theta)\right\}$，用极坐标更为简便：

$$\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\iint_{D} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \rho d \theta$$

具体步骤就是：先找到$\theta$的范围，再求$\rho$的函数

选择原则

奇技淫巧

三重积分计算法

切薯条法（先一后二）

先沿一个方向进行积分，再进行二重积分，可以类比二重积分中的直角坐标法，

当积分区域可以表示为：$\color{purple}\Omega=\left\{(x, y, z) \mid(x, y) \in D_{x y}\right. \left.z_{1}(x, y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x, y)\right\}$，

可以用下式计算三重积分：

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d v=\iint_{D_{x y}}\left[\int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y, z) d z\right] d x d y$$

切薯片法(先二后一)

跟前面的方法反过来，当积分区域可以表示为：$\color{purple} \Omega=\{(x, y, z) c_1 \leqslant z \leqslant c_2, \ (x, y) \in D_{z} \}$，

可以这样计算三重积分：

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d v=\int_{C_{1}}^{c_{2}}\left[\iint_{D_{z}} f(x, y, z) d x d y\right] d z$$

极坐标法

无需多言，就多了个z罢了

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d v=\iiint_{\Omega} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta, z) \rho d \rho d \theta d z$$

🎁

有原函数但无法直接求导的常见函数：

当遇到这种情况时，就用技巧吧，三角变换，交换积分次序，极坐标法…

$$\int \frac{\sin x}{x} d x\ \int \frac{\cos x}{x} d x \ \int \frac{\tan x}{x} d x\ \int \frac{e^{x}}{x} d x$$

$$\int \sin x^{2} d x\ \int \cos x^{2} d x\ \int \tan x^{2} d x\ \int\frac{dx}{lnx}$$

$$\int e^{a x^{2}+b x+c} d x\quad\left(e^{x^{2}} d x ; \int e^{-x^{2}} d x\right)$$

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1. 把第三个变量换做密度的话，亦可类比成物理学上的质量。 ↩︎