基本功：积分 微分 极限

前置知识

∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣||a|-|b||\le|a-b|

ab≤a+b2\color{red} \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}

sin⁡x<x\sin{x}<x

数列极限要点

定义法解题三部曲

  1. 写距离

    ∣f(x)−q∣<ϵ|f(x)-q|<\epsilon

  2. 反解

  3. 取N(取整)

    Let N=[1ϵ]+1Let\ N=[\frac{1}{\epsilon}]+1

ϵ−N语言\epsilon-N语言

∀ϵ>0,∃N>0when n>N,∣xn−a∣<ϵ\forall \epsilon >0,\exist N>0\\ when \ n>N ,|x_n-a|<\epsilon

极限是一个过程

绝对值几何意义：距离0点的距离。

lim⁡n→∞an=0⟺lim⁡n→∞∣an∣=0\lim_{n\to\infty}a_n=0\Longleftrightarrow\lim_{n\to\infty}|a_n|=0

子数列

数列收敛则任一子数列收敛，且数列极限不变。

逆否命题：子数列发散则原数列发散

性质与运算

  • 唯一性 极限若存在，则必是唯一的

  • 保号性 极限正负性与数列正负性相同

    脱帽与戴帽法

  • 有界性

极限运算时不能随便拆

夹逼准则(哪里跑准则🏃‍♂️)

a⟹a⟸aa\Longrightarrow {\color{red}a}\Longleftarrow a

lim⁡n→∞yn=a,lim⁡n→∞zn=a,yn≤xn≤zn⇒lim⁡n→∞xn=a\lim_{n\to\infty}y_n=a, \lim_{n\to\infty}z_n=a, y_n\le x_n\le z_n\Rightarrow \lim_{n\to\infty}x_n=a

只动分母，不动分子

🌟单调有界准则

数列{xnx_n}单调增加且有上界，则极限存在；(蒸蒸日上)

数列{xnx_n}单调减少且有下界，则极限存在；(每况愈下)

  • 单调性证明
  • 上下界
  • 极限计算

见到递推式一般用单调有界准则

函数极限(计算)

定义与性质(ϵ−δ\epsilon-\delta语言)

去心领域(附近)，一维是区间，二维是区域。

lim⁡x→x0f(x)=A⇔∀ϵ>0,∃δ>0, when 0<∣x−x0∣<δ,∣f(x)−A∣<ϵ\lim_{x\to x_0}f(x)=A \Leftrightarrow \color{red} \forall \epsilon>0,\exist\delta>0,\ when\ 0<|x-x_0|<\delta, |f(x)-A|<\epsilon

放大(特定点)与缩小(无穷)的思想，七种趋向方式(6+1)

lim⁡x→∞f(x)=A⇔∀ϵ>0,∃X>0, when ∣x∣>X,∣f(x)−A∣<ϵ\lim_{x\to \infty}f(x)=A \Leftrightarrow \color{red} \forall \epsilon>0,\exist X>0,\ when\ |x|>X, |f(x)-A|<\epsilon

在某点处极限存在：左右极限存在且相等

函数极限与所在点的函数值没有明确关系。

极限基本运算

要点：极限要存在

夹逼准则

g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \le f(x)\le h(x)

A⟹A⟸AA\Longrightarrow {\color{red}A}\Longleftarrow A

A为∞\infty(特殊的数)时，极限不存在。

放缩法：

脱帽法

lim⁡x→x0f(x)=A⇔f(x)=A+d(x)\lim_{x\to x_0}f(x)=A \Leftrightarrow f(x)=A+d(x)

洛必达法则

00\frac{0}{0}型 ∞∞\frac{\infty}{\infty}型

条件：

  1. 当x→A or x→∞x\to A\ or \ x \to \infty时，f(x) g(x)f(x)\ g(x)都趋于零或无穷大。

  2. 两函数的极限存在且分母极限不为零。

  3. lim⁡x→A/∞f′(x)g′(x) 存在或者为无穷大\lim_{x\to A/\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} \ \text{存在或者为无穷大}

结论：

lim⁡x→A/∞f(x)f(x)=00lim⁡x→A/∞f′(x)f′(x)\lim _{x\to A/\infty} \frac{f(x)}{f(x)} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim _{x\to A/\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{f^{\prime}(x)}

只有求导后为A或无穷大时，才能前推，求导后如果不存在，则法则失效。

🌟泰勒公式

重要函数的泰勒公式(x→0x\to 0)：

sin⁡x=x−x33!+o(x3),cos⁡x=1−x22!+x14!+o(x4).\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+o\left(x^{3}\right), \quad \cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{1}}{4 !}+o\left(x^{4}\right) .
arcsin⁡x=x+x33!+o(x3),tan⁡x=x+x33+o(x3).\arcsin x=x+\frac{x^{3}}{3 !}+o\left(x^{3}\right), \quad \tan x=x+\frac{x^{3}}{3}+o\left(x^{3}\right) .
arctan⁡x=x−x33+o(x3),ln⁡(1+x)=x−x22+x33+o(x3)\arctan x=x-\frac{x^{3}}{3}+o\left(x^{3}\right), \quad \ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o\left(x^{3}\right),
ex=1+x+x22!+x33!+o(x3),(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+o(x2).\mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+o\left(x^{3}\right), \quad(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+o\left(x^{2}\right) .

延伸出来的等价替换(出题点)：

x−sin(x)∼x33!x-sin(x)\sim \frac{x^3}{3!}