Tabular Method

Tabular Method 表格法

此乃妖法也！

还在为求积分头疼吗？

还在为分部积分公式记不清烦恼吗？

还在为求积公式用错而后悔不已吗？

来使用表格法吧，然你彻底摆脱分部积分！让你解题总快人一步！…

什么是表格法？

表格法是一种更加简洁，优美的，很大程度上可以取代分部积分法（Integration by Parts）的求解方法，定理如下：

$$\int f(x) g(x)dx =\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^jf^j(x) g^{-(j+1)}(x) + (-1)^n \int f^{n}(x)g^{-n}(x)dx$$

亦即

$$f g^{(-1)}-f^{(1)} g^{(-2)}+f^{(2)} g^{(-3)}-\cdots+(-1)^{n-1} f^{(n-1)} g^{(-n)}+(-1)^{n} \int f^{(n)} g^{(-n)} d x$$

为了简洁起见，记

$$f^{(-n)}=\int \cdots \int_{\mathbf{D}} f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \mathrm{d} x_{1} \ldots \mathrm{d} x_{n}$$

那么上式就可以列成这样的表格：

正负号	D（积分）	I（导数）	代表的积分
+	$f(x)$	g(x)	$\int f^(x)g(x)dx$
-	$f^{(1)}$	$g^{(-1)}$	$-1 \cdot \int f^{(1)}(x)g^{-1}(x)dx$
+	$f^{(2)}$	$g^{(-2)}$	$\int f^{(2)}(x)g^{(-2)}(x)dx$
-	$f^{(3)}$	$g^{(-3)}$	$\int f^{(3)}(x)g^{(-3)}(x)dx$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$(-1)^{(n-1)}$	$f^{(n-1)}$	$g^{(-(n-1))}$	$(-1)^{(n-1)} \int f^{n-1}(x)g^{-n+1}(x)dx$
$(-1)^{(n)}$	$f^{(n)}$	$g^{(-n)}$	$(-1)^n \int f^{n}(x)g^{-n}(x)dx$

看到这里，相信大家已经会了吧。那么今天就此结束，咱们下次见。

什么？要例子？这都说的多清楚了，要什么例子。

看不懂？好吧，那就给几个例子吧

表格法展开停止条件

遇到0

例题一：求解下面无穷积分：

$$\int_0^{\infty} x^2 e^{-x}dx$$

解：根据表格法，可以其不定积分的表格如下：

	D	I	rep
+	$x^2$	$e^{-x}$	$\int x^2 e^{-x}dx$
-	$2x$	$-e^{-x}$	$\int 2x e^{-x}dx$
+	$2$	$e^{-x}$	$\int 2 e^{-x}dx$
-	$0$	$-e^{-x}$	$\int 0 dx$

$$\therefore \int x^2 e^{-x}dx = -x^2e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}+C$$

遇到循环

例题二：求解下面不定积分：

$$\int e^x sin(x) dx$$

解：根据表格法，可以该不定积分的表格如下：

	D	I	rep
+	$sin(x)$	$e^{x}$	$\int e^{x}sin(x)dx$
-	$cos(x)$	$e^{x}$	$\int e^{x}cos(x)dx$
+	$-sin(x)$	$e^{x}$	$-\int e^{x}sin(x)dx$
-	$-cos(x)$	$e^{x}$	$\int cos(x) e^x dx$

在上面的表格中，我们发现它可以无限往下面展开，但我们只需要看清楚第三次展开的结果，发现了吗？它就是原积分的相反数（这是特殊情况，一般只要呈现出倍数关：系就可以停止展开了），这时结束展开，可以得到:

$$\int e^x sin(x) dx=sin(x)e^x-cos(x)e^x-\int e^{x}sin(x)dx$$

可以写成简单积分

例题三：求解下面不定积分：

$$\int x^4 lnx dx$$

解：根据表格法，可以该不定积分的表格如下：

	D	I	rep
+	$x^4$	$lnx$	$\int x^4 lnx dx$
-	$4x^3$	?	？

$lnx$的积分不会求怎么办？换个位不就行了$lnx$的导数总是简单了吧

	D	I	rep
+	$lnx$	$x^4$	$\int x^4 lnx dx$
-	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{5}x^5$	$\frac{1}{5}\int x^4dx$
+	----	-----	-----

当发现出现了贼简单的一个式子时，就不要在展开了，直接就出答案了

$$\therefore \int x^4 lnx dx = lnx\cdot \frac{1}{5}x^5- \frac{1}{5}\int x^4 dx$$

什么？不想用！好吧给你个分部积分的记忆公式吧：

$$\begin{aligned} &(u\cdot v)'=u'v+v'u\\ &u'v=(u\cdot v)'-v'u\\ &\int v du=(u\cdot v)-\int udv \end{aligned}$$

讲到这里，你总该满意了吧，谢谢支持！某年某月，我们再见！

[1]:1988年的电影《为人师表 / Stand and Deliver》,里面有这个表格法的片段。“Tic, Tac, Toe, Simple!”