Not necessarily. This is a classic example of Munchhausen’s Trilemma:

either the reason is predicated on a series of sub-reasons, leading to an infinite regression; or it tracks back to arbitrary axiomatic statements; or it’s ultimately circular.

i.e., I’m moving out because I’m moving out.

-from 《The Big Bang Theory 2007》

前提&结论

(条件命题)一个命题都有前提和结论两部分，以若(前提)，则(结论)的形式表示。

条件

充分条件

充分条件前推后，若p，则q，亦即 $p\Rightarrow q$

$p\Rightarrow q \quad \text{(前项真，则后项真)}\\ ¬p \nRightarrow ¬q\quad \text{(前项非真，后项未知)}\\$

必要条件

必要条件后推前，若p发生,则q一定发生，亦即 $p\Leftarrow q$

$q \nRightarrow p\text{(后项真，前项未知)}\\ ¬q \Rightarrow ¬p\text{(后项非真，则前项非真)}\\$

充要条件

充要条件两头推，亦即 $p\iff q$

常用的基本论证形式

名字	相继式	描述
肯定前件论式	(p ⇒ q) ; p ├ q	若 p 则 q；p ,所以 q
否定后件论式	(p ⇒ q) ; ¬q ├ ¬p	若 p 则 q；非 q；所以，非 p
假言三段论式	(p ⇒ q) ; (q ⇒ r) ├ (p ⇒ r)	若 p 则 q；若 q 则 r；所以，若 p 则 r
选言三段论式	(p ∨ q) ; ¬p ├ q	要么 p 要么 q；非 p；所以, q
创造性二难论式	(p ⇒ q)∧(r ⇒ s) ; (p ∨ r) ├ (q ∨ s)	若 p 则 q；并且若 r 则 s；但是要么 p 要么 r；所以，要么 q 要么 s
破坏性二难论式	(p ⇒ q)∧(r ⇒ s) ; (¬q ∨ ¬s) ├ (¬p ∨ ¬r)	若 p 则 q；并且若 r 则 s；但是要么非 q 要么非 s；所以，要么非 p 要么非 r
简化论式	(p ∧ q) ├ p	p 与 q 为真；所以，p 为真
合取式	p, q ├ (p ∧ q)	p 与 q 分别为真；所以，它们结合起来是真
增加论式	p ├ (p ∨ q)	p 是真；所以析取式(p 或 q)为真
合成论式	(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) ├ p ⇒ (q ∧ r)	若 p 则 q；并且若 p 则 r；所以，若 p 是真则 q 与 r 为真
德·摩根定律(1)	¬(p ∧ q) ├ (¬p ∨ ¬ q)	(p 与 q)的否定等价于(非 p 或非 q)
德·摩根定律(2)	¬(p ∨ q) ├ (¬p ∧ ¬ q)	(p 或 q)的否定等价于(非 p 与非 q)
交换律(1)	(p ∨ q) ├ (q ∨ p)	(p 或 q)等价于(q 或 p)
交换律(2)	(p ∧ q) ├ (q ∧ p)	(p 与 q)等价于(q 与 p)
结合律(1)	p ∨ (q ∨ r) ├ (p ∨ q) ∨ r	p 或(q 或 r)等价于(p 或 q)或 r
结合律(2)	p ∧ (q ∧ r) ├ (p ∧ q) ∧ r	p 与(q 与 r)等价于(p 与 q)与 r
分配律(1)	p ∧ (q ∨ r) ├ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)	p 与(q 或 r)等价于(p 与 q)或(p 与 r)
分配律(2)	p ∨ (q ∧ r) ├ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)	p 或(q 与 r)等价于(p 或 q)与(p 或 r)
双重否定律	p ├ ¬¬p	p 等价于非 p 的否定
换位律	(p ⇒ q) ├ (¬q ⇒ ¬p)	若 p 则 q 等价于若非 q 则非 p
实质蕴涵律（蕴析律）	(p ⇒ q) ├ (¬p ∨ q)	若 p 则 q 等价于要么非 p 要么 q
实质等价律(1)	(p ↔ q) ├ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)	(p 当且仅当q) 意味着，(若 p 是真则 q 是真)与(若 q 是真则 p 是真)
实质等价律(2)	(p ↔ q) ├ (p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬p)	(p 当且仅当q) 意味着，要么(p 与 q 都是真)要么(p 和 q 都是假)
输出律	(p ∧ q) ⇒ r ├ p ⇒ (q ⇒ r)	从(如 p 与 q 是真则 r 是真)可推出(若 q 是真则 r 为真的条件是 p 为真)
输入律	p ⇒ (q ⇒ r) ├ (p ∧ q) ⇒ r	若p，则(q为真时，r为真)可推出若（p与q）为真，则r为真
重言式	p ├ (p ∨ p)	p 是真等价于 p 是真或 p 是真
排中律	├ (p ∨ ¬p)	p 或非 p 是真
同一律*	p = q ; p ⇒ r ├ q ⇒ r	p = q 且 (若p 则 r )等价 (若q 则 r)
吸收律	p ⇒ q ├ p ⇒ (p ∧ q)	若p则q，可以推出若p则p且q

布尔运算

pdf

Boolean algebra

基本逻辑符号

符号	名字	解说	例子	读作
⇒ $\rightarrow$ ⊃	实质蕴涵	A ⇒ B 意味着如果 A 为真，则 B 也为真；如果 A 为假，则对 B 没有任何影响。	x = 2 ⇒ x² = 4 为真，但 x² = 4 ⇒ x = 2 一般为假(因为 x 可以是 −2)。	蕴涵；如果… 那么
$\Leftrightarrow\ \leftrightarrow$	实质等价	A $\Leftrightarrow$ B 意味着 A 为真如果 B 为真，和 A 为假如果 B 为假。	x + 5 = y +2 $\Leftrightarrow$ x + 3 = y	当且仅当；
¬ ~/	逻辑否定	陈述 ¬A 为真，当且仅当 A 为假。	¬(¬A) $\Leftrightarrow$ A x ≠ y $\Leftrightarrow$ ¬(x = y)	非
∧	逻辑合取	如果 A 与 B 二者都为真，则陈述 A ∧ B 为真；否则为假。	n < 4 ∧ n >2 $\Leftrightarrow$ n = 3（当 n 是自然数的时候）。	与；且
∨+ \|	逻辑析取	如果 A 或 B有一个为真陈述或二者均为真陈述，则 A ∨ B 为真；如果二者都为假，则陈述为假。	n $ \ge$ 4 ∨ n $\le$ 2 $\Leftrightarrow$ n ≠ 3（当 n 是自然数的时候）。	或
⊕⊻	$XOR$	陈述 A ⊕ B 为真，在要么 A 要么 B 但不是二者为真的时候为真。A ⊻ B 意思相同。	(¬A) ⊕ A 总是真，A ⊕ A 总是假。	异或
∀	全称量词	∀ x: P(x) 意味着所有的 x 都使 P(x) 都为真。	∀ n ∈ N : n² $\ge$ n	对于所有
∃	存在量词	∃ x: P(x) 意味着有至少一个 x 使 P(x) 为真。	∃ n ∈ N（n 是偶数）。	存在着
∃!	唯一量词	∃! x: P(x) 意味着精确的有一个 x 使 P(x) 为真。	∃! n ∈ N（n + 5 = 2n）.	精确的存在一个
:= ≡	定义	x := y 或 x ≡ y 意味着 x 被定义为 y 的另一个名字(但要注意 ≡ 也可以意味着其他东西，比如全等)。	cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x))	被定义为
: $\Leftrightarrow$	P : $\Leftrightarrow$ Q 意味着 P 被定义为逻辑等价于 Q。	A XOR B : $\Leftrightarrow$ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)
( )	优先组合	优先进行括号内的运算。	(8/4)/2 = 2/2 = 1, 而 8/(4/2) = 8/2 = 4。
├	推论	x ├ y 意味着 y 推导自 x。	A → B ├ ¬B → ¬A	推论或推导
$\Box$ L	必然性	$\Box P$ 意味着如果 $P$ 不可能，为假。	$\Diamond p=\lnot \,\Box \,\lnot \,p$	必然的
$\Diamond$ M	可能性	$\Diamond P$ 意味着如果 $P$ 可能为真，不管实际上是真是假。	$\Box p=\lnot \,\Diamond \,\lnot \,p$	可能的

基本Logic